این معادله‌ها رو میشه به راحتی و با یک یا دو بار انتگرال گیری حل کرد. موضوع بحث من این معادله‌ها نیست. حالا این معادله ساده رو در نظر بگیرید
\frac{d^2y}{dx^2} + \alpha \frac{dy}{dx} + \beta y = 0
تا جایی که من می‌دونم ما حدس می‌زنیم که جواب این معادله به شکل y = \exp{(c\,x)} هست و با قرار دادن این جواب فرضی در معادله اصلی مقدار c رو پیدا می‌کنیم. این اتفاق برای خیلی از معادله‌های دیگه از جمله PDE ها هم می‌افته. البته دسته‌ای از معادلات هم هستند که با روش سری‌های توانی حل می‌شوند. اما این روش تا زمانی معتبر است که سری واگرا نشود.
آیا ما واقعا معادله‌ها رو حل می‌کنیم یا صرفا جواب را حدس می‌زنیم؟ منظورم از حل معادله حل مستقیم آن است، یک راه حل مشخص و نه بر اساس شهود ریاضی یا فیزیکی.
این روش وقتی به درد میخوره که معادله در شرایط یکتائی جواب صدق کنه. در این صورت جوابی که حدس زدید تنها جواب خواهد بود. این معادله ساده رو در نظر بگیرید: dx/dt=2 \,x^{0.5} (با شرط اولیه x=0 ).
در واقع حدس زدن تنها برای معادلات خطی و معادلاتی که شانسی جواب رو میدونیم کار میکنن. از این لحاظ درست میگید، تقریبا هیچ روش مشخصی برای حل معادلات دیفرانسیل به طور مستقیم نداریم.
اگر اساسی تر به مسئله نگاه کنیم، تعریف دقیق حل هم مهم میشه. برای مثال از دیدگاه بنیادی، تابع نمائی اساسا تعریفش براساس معادله خطیه!
تا حدی درسته. توی معادلات دیفرانسیل پیشرفته قضیه ای هست (rectification theorem) که میگه: اگر جواب معادله وجود داشته باشه، تبدیل فضا-زمانی وجود داره که اون رو به معادله با سرعت ثابت تبدیل میکنه (دقیقا شبیه به قضیه اساسی نسبیت عام). هر چند اساسا این تبدیل توپولوژی رو حفظ نمیکنه ولی اگر که شرط حفظ توپولوژی رو بذارید، (یکم سخت میشه ) اون موقع پیدا کردن توپولوژی کافیه، بقیه خصوصیات جواب نکته خاصی توش نیست. مثال توی دو بعد سیستم یا حرکت تناوبی داره یا به یه نقطه میل میکنه. فرکانس تناوب با انتخاب مقیاس میتونه به یک تبدیل بشه!