بازی ریاضی: به نظرتون «۱=۲» درسته یا غلط؟

داستان از اینجا شروع میشه یک معلمی داره ریاضیات رو به یک دانش‌آموز درس میده. دانش‌آموز میگه: من میفهمم که بنیان ریاضی که داری میگین چیه ولی سئوالم اینه، «با این بنیان ریاضی آیا ۱=۲ درسته یا غلط»؟

شما جای معلم بودین، چه جوابی میدادین؟


توضیحات کوتاهی برای درک بهتر سوال:

این سئوال عملا از کارهای علمی کورت گودل گرفته شده، که احتمالا از نظر هوش و عمق فهم ریاضیات در تاریخ کمتر نظیری داشته.

خیلی ساده بگید که برای نگاه کردن به این مسئله، چه فرضی از ریاضیات رو لازم دارین؟

8 پسندیده

من بودم میگفتم ببین یوسف جان (مثلااا اسم دانش آموز خیالی ) تنها چیزی که به صورت مطلق تعریف شده ریاضی هست چون کاملا خیالی هست و می تونیم به صورت مطلق فرضش کنیم بنابراین 10 میلیون سال بعد هم 2=1 برابر نیست.
یوسف نظرم چقدر درسته ؟

2 پسندیده

یه پیش زمینه میگم تا کمی وارد عمق بشیم.
این سئوال عملا از کارهای علمی کورت گودل گرفته شده، که احتمالا از نظر هوش و عمق فهم ریاضیات در تاریخ کمتر نظیری داشته. به همین خاطر من بودم کمی عمیق‌تر به داستان نگاه می‌کردم!

اما ادامه بحث جدا از اسم افراد:

مشکلی در مطلق گرفتن اصول ریاضی نیست (هرچند میتونید اصول رو عوض کنید و نتایج رو به هم دیگه تبدیل کنید. این بحث رو در جایی دیگه). منتها، دقیقا میتونی بگی که از چه اصولی (فرضیاتی) استفاده کردی تا این حرف رو بزنی؟

3 پسندیده

به نظر من ریاضی یک علم «منطقی» و «انتخابیه». از اول منطقی تر بوده که هر عدد برابر با خودش باشه و خب این توی جامعه جا افتاده سال های سال. اگر من بودم در جواب اینو میگفتم و اضافه می کردم که حرفش بر مبنای خودش غلط نیست. از اول می تونستن تعریف دیگه ای بدن. مثلا بگن هر عدد برابره با یکی کم تر از خودش (n=n-1)! همین طور که الان هم نمونش هست. مثلا جهت مثبت محور ایکس ها سمت راسته و من یادمه بچه که بودم از معلمم پرسیدم چرا راست؟ گفت تو بگیر چپ! فرقی نمی کنه.
البته همیشه هم منطق درست در نمیاد. مثلا ما تو فیزیک میگیم در جریان الکتریکی بار مثبت به سمت بار منفی حرکت می کنه. درصورتی که این غلطه. این بار منفی هست که حرکت می کنه چون فقط الکترون توانایی حرکت داره. اما حالت اول چون از قدیم قرارداد بوده تا الان مونده :
خلاصه حرفم همون دو کلمه ی بالاست
ریاضی = منطق + انتخاب

2 پسندیده

من خیلی فکر کردم و دیدم تنها چیزی که می تونه از طبیعت و انسان جدا باشه ریاضی هست ، یعنی اخلاق با انسان تعریف میشه ولی ریاضی نه ، یا حداقل می تونه نباشه
تو طبیعت چیزی به اسم عدد 2 نداریم ، حتی در دنیای انسان ها هم چنین چیزی نداریم ، پس ریاضی می تونه برخلاف طبیعت و زمان غیر قابل تغییر باشه چون تحت تاثیر هیچ کدوم از اینها نیست ، پس می تونه مطلق باشه.

خب وقتی ما قبول کردیم 2=1 نیست چرا باید تغییرش بدیم ؟ دلیل این تغییر چیه ؟ بر مبنای چه چیزی ؟ تازه ریاضی یک زبانه برای درک طبیعت ، ما زبان و خودمون می سازیم و کاری به طبیعت هم نداریم ، من می تونم بگم بجای اینکه فعل و اخر بیاریم اول بیاریم چه اتفاقی می افته ؟ هیچی ولی دلیلی نداره این کار و بکنیم ، زبان که درست و غلط نیست ، زبان یک تعریف هست ، تا هزاران سال می تونیم به موجودی دو گوش و گوشت خوار با اندازه فلان بگیم گربه ، این اسم نه وابسته به زمانه نه اون موجود

1 پسندیده

من هنوز منطق معمول رو پذیرفتم. سئوال به چیزی عمیقتر و در عین حال ساده‌تر اشاره میکنه. خیلی ساده، بگید که برای نگاه کردن به این مسئله، چه فرضی از ریاضیات رو لازم دارین؟

3 پسندیده

منظورت از بنیان رو می تونی دقیق تر بگی؟

1 پسندیده

شاید منظور واحد بوده. مثلا یک طالبی میشه یک عدد، یک سیب هم میشه یک عدد. اما واحد ها متفاوته. اما اگر اندازه ی یک طالبی دوبرابر یک سیب باشه خب میگیم یک طالبی برابره با دو عدد سیب ۱=۲.
هر چند حرفم درست به نظر میاد اما خب چون واحد ها مهم هستند درست تر بود بنویسیم 2x=y.
Xسیب و Y طالبی.
یعنی کلا بستگی به واحد انتخابی داره.
نمی دونم به منظورت نزدیک تر شدم یا دور تر

4 پسندیده

بزارین ذهنیات آشفته‌ی دانش‌آموز رو بگم شاید چالش رو بهتر ببینید. برای اثبات منطقی شما فرضیات خودتون رو می‌نویسید بعد استنتاج می‌کنید. چون در نظریه اعداد معمول ۱ متمایز از ۲ فرض شده پس مسیر منطقی ذهن اینه:

آیا این جمله غلطه؟ فرض کنیم اینطور باشه. دو فرض در دست دارم که میگه ۱ با ۲ برابر نیست! پس مشکلی ندارم! :star_struck:

ولی یه لحظه در مسیر منطق صبر کنید:
هنوز نصف راه مونده: فرض کنیم که این جمله درسته، یعنی به همراه منطق ریاضی، هم فرض کردم ۱ با ۲ برابر نیست (نظریه اعداد معمولی) هم فرض کردم ۱ با ۲ برابره (فرض درست بود گزاره). نتیجه این حالت چی میشه؟

3 پسندیده

کدوم جمله ؟ گیج شدم.

خب طبقه نظریه اعداد این فرض درستی نیست. ما باید بحث کنیم چرا نظریه اعداد این و میگه درسته ؟

1 پسندیده

من قبلا یک فیلم در یوتیوب دیدم که یه استادی 1=2 رو با کمک a=b اثبات میکنه. ولی فکر کنم یک جا میگه ما یک تقسیم بر صفر داشتیم به همین دلیل 1=2 نمیشه. لینک از یوتیوب

البته چندتا اثبات دیدم که به طریق دیگه 1 = 1- رو ثابت کردن ولی فکر میکنم یه جا یک نکته ریز ریاضی داره که باعث میشه این نوع اثبات کردن‌ها اشتباه باشه :grin: فکر میکنم این 1=2 هم همینجوری باشه.

چه بازیهای پر چالشی طراحی میکنین! بدیش اینه که وقتی ذهن درگیرش میشه دیگه ولش نمیکنه تا جواب رو بیابه … .

اگه فرض کنم ۱ = ۲ ، اون وقت همه اعداد با هم برابر میشن، (البته فرضم اینه که عملکرد دو عمل جمع و تفریق رو پذیرفتیم):

۱ = ۱ + ۱ ؛ پس ۱ = ۰
۳ = ۱ +‌ ۲ = ۱ +‌ ۱ ؛ پس ۳ = ۱

و به همین صورت باقی اعداد … . پس اون وقت فقط یه عدد داریم که البته اصولا مشکلی نیست فقط یه عدد داشته باشیم، فقط اون وقت دیگه عملیاتی مثل جمع و تفریق و ضرب و تقسیم بی معناس، فضا قابل تمیز دادن از هم نمیشه و … .

اگه فرض کنیم ۱ = ۲ دیگه چه چیز عجیبی ممکنه پیش بیاد؟

3 پسندیده

نکته جالبی بود :+1:. ولی مسئله اینه که اساسا میتونین فرض کنین این و نظریه اعدا معمول همزمان درستن؟

1 پسندیده

با بنیان ریاضی نظریه مجموعه‌ها، ۲=۱ یک گذاره نادرست است. هر عدد طبیعی را می‌توان با عدد واحد 1 جمع کرد تا عدد طبیعی بعدی به وجود آید. اگر ۲=۱ باشد، آن‌گاه 3=1، ۳=۲، ۴=۱، ۴=۲، ۴=۳ و الی آخر.

البته اگر در نظریه مجموعه‌ها، عضو خنثی را ۱ در نظر بگیریم (به جای این که عضو خنثی را ۰ در نظر بگیریم) با حفظ بقیه اصول، آن‌گاه ۲=۱ یک گذاره درست است.

1 پسندیده

به نظرم باید کل درس ریاضی که معلم به دانش‌آموز داده میذاشتید تا بشه نظر داد به خصوص تعریف رابطه و تساوی و این که آیا دو همینطوری که یک تعریف شده، تعریف شده؟

من اگه جای معلم بودم سراغ درس دادن همچین موضوعی نمیرفتم

پ ن: تو بعضی زبانهای برنامه نویسی دو تا عملگر متفاوت برای مقایسه برابری و هم‌ارزی هست

3 پسندیده

یعنی میگی الان که عضو خنثی صفر هست، ۰ = ۱ ؟ :thinking:

یه کمی بوی جر-زَنی میده این پاسخ :face_with_raised_eyebrow: خانم معلم نظر تخصصی شما چیه؟ @moalem پاسخش رو قبول کنیم یا یه جریمه‌ی پادپرسی برای جرزننده و لایک‌کننده‌های این جرزنی (مشوق‌هاش) در نظر بگیریم؟! :grin:

1 پسندیده

یعنی نمیشه یه سیب بزرگ اندازه دوتا سیب کوچک باشه؟

2 پسندیده

اگر تعریف عضو خنثی را این در نظر بگیریم که «اگر با عنصر دیگری جمع شد تغییری ایجاد نکند» آن وقت می‌توان همزمان ۱ را عملگر بالا برنده و عملگر خنثی در نظر گرفت. در این صورت ۲ می‌تواند برابر ۱ باشد. هر چند دیگر مجموعه اعداد طبیعی نخواهیم داشت اما به سوال دانشجوی کنجکاو پاسخ داده‌ایم.

1 پسندیده

فکر کنم این طور نیست که عضو خنثی اساسا تعریف بشه بلکه اگر یه عضو یه سری ویژگی داشته باشه نسبت به یه عملگر میشه عضو خنثی

این که چیزی رو که نمیدونیم درس ندیم جرزنیه :thinking:

تعریف دقیق مجموعه رو نمیدونم ولی ذهنیتم اینه که اعضای مجموعه باید متمایز باشن

پ ن: دقیقترین کتاب ریاضی که خوندم نوشته بود:

We adopt, as most mathematicians do, the naive point of view regarding set theory. We shall assume that what we mean by a set of objects is intuitively clear, and we shall proceed on this basis without analyzing the concept further. Such an analysis properly belongs to the foundations of mathematics and to mathematical logic, and it is not our purpose to initiate the study of those fields.
Logicians have analyzed the set theory in great detail, and they have formulated axioms for the subject. Each of their axioms expresses a property of sets that mathematicians commonly accept, and collectively the axioms provide a foundation that is broad enough and strong enough that the rest of mathematics can be built on them.
It is unfortunately true that careless use of set theory, relying on intuition alone, can lead to contradictions. Indeed, one of the reasons for the axiomatization of set theory was to formulate rules for dealing with sets that would avoid these contradictions. Although we shall not deal with the axioms explicitly, the rules we follow in dealing with sets derive from them. In this book, you will learn how to deal with sets in an “apprentice” fashion, by observing how we handle them and by working with them yourself. At some point of your studies, you may wish to study set theory more carefully and in greater detail; then a course in logic or foundations will be in order.

نشون میده حتی دانشجوهای ریاضی به سبک کارآموزهایی که تقلید میکنن کار با مجموعه ها رو یاد میگیرن (وای به حال فیزیکی‌ها)

2 پسندیده