آیا علم اعداد در زندگی شما کاربرد داره؟ یا نظرتون درباره پیگیری این علم چیه؟
1 پسندیده
منظورتون number theory به معنی کار کردن با اعداد طبیعی هست؟
1 پسندیده
سلام، نه، مثلا عدد ۳ نماد چیه؟ یا میگن عدد ۱۱ عدد خلق آرزوهاست؟ یا عدد ۷ و ۴۰ .
در ادامه‌ی علم ِ «نظریه اعداد» صفر و یا بینهایت آیا ابداع شدن و یا اثبات؟ هر دو مورد (چه اثبات و چه ابداع) به نظرم عجیبه. چرا وجودشون الان این قدر برای آدم بدیهی هست؟
پ.ن. این مدل استفاده از عددها حالت خرافه داره و در «سرسرای مسئله‌ها» نمی‌گنجه. پیشنهاد میکنم بحث علمی راجع به عددها رو ادامه بدیم تا به هر کدوممون چیزی در این زمینه اضافه شه.
2 پسندیده
بله به نحوی هر دوتا ابداع شدن ولی داستان ولی مفهوم این دو تا با هم خیلی متفاوت هست. من تاریخی به داستان نگاه نمیکنم، در عوض عمق چالش و اهمیت این قدمها رو میخوام کمی باز کنم.
صفر وجود صفر و نمادگذاری این کمیت عجیب، عملا عدد رو به چیزی فرای شمارش ارتقا میده. عدد طبیعی مثبت نمود بیرونی داره ولی عدد منفی نه. ریاضیات بدون صفر نمیتونسته مفهوم منفی رو فرمولبندی کنه. نکته بعدی اینه که ما امروز صفر رو کاملا میتونیم بفهمیم برخلاف بینهایت که به این سادگی نیست.
بینهایت خیلی دیرتر وارد ریاضیات شده و اساسا مفهوم متفاوتی داره. نکته اینه که بینهایت هیچ وقت جزء بازه محاسباتی نیست. اگر دقت کنید همیشه با بازه باز در بینهایت کار میکنیم. نکته عجیب این داستان هست که وقتی محاسبات شامل بینهایت باشن، داستان متفاوتی پیش میاد. برای مثال داستان معروف سری c=\sum_{n=0}^{\infty}2^n. استدلال اولیه این هست که براساس اصول کار با بینهایت، این جمع باید بینهایت باشه. ولی برای لحظه‌ای میشه فرض کرد با همگرائی و واگرائی کاری نداریم، میشه سری رو بازآرائی کرد به این شکل که c=1+2c (کافیه یه جمله اول رو جدا کنید بعد فاکتورگیری و استفاده از خاصیت جمع تا بینهایت، که باز هم خودش رو تکرار میکنه!). این نشون میده که مقدار c=-1 هم جواب میتونه باشه! چرا این عجیب نیست؟
(این استدلال کیفی هست و از جائی گرفته نشده بنابراین صرفا به صورت یه نظر نگاه کنید نه استدلال علمی) مرتب سازی روی اعداد نکته ای داره که خیلی عجیب هست! اگر x<y آنگاه 1/y<1/x. تا وقتی که با اعداد مثبت کار میکنیم، حس عجیبی در کار نیست. ولی اگر x منفی باشه، آون وقت عدد منفی بزرگتر از عدد مثبت میشه در دومین نامساوی! به همین خاطر قاعده مرتب‌سازی در این مورد ناپیوسته اعمال میشه. دلیل این هست که در صفر این عملگر از بینهایت عبور میکنه. حال فرض کنیم که این ناپیوستگی اتفاق نمیوفتاد، میشه دید که اون موقع -\infty >+\infty و در نتیجه هر عدد منفی بزرگتر از بینهایت خواهد بود! یعنی مقدار منفی برای سری بینهایت از اعداد مثبت، نشون میده که مقدار اون سری از بینهایت بیشتر هست!
این پارادوکسهای در مورد بینهایت همیشه دردسرساز بوده و در واقع جواب قانع کننده‌ای برای کلیت داستان بینهایت وجود نداره. یکی از بهترین راههای که برای حمله به این داستان انجام شده، نظریه آنالیز غیراستاندارد هست که استفاده‌های ازش میشه ولی به خاطر اینکه براساس مجموعه هست و نه عدد، در علوم کاربردی خیلی استفاده نمیشه.
4 پسندیده
جالب بود البته برای فهم لینکا باید زمان بذارم، سوالم اینه که چطور بعضی ذهن ها اینقدر در ریاضی، اون هم به این شکل پیچیده و عمیق، مهارت تحلیل و خلق پیدا می کنند؟
پیچیدگی خیلی معنی نداره ولی عمیق فکر کردنشون به این خاطر هست که به بنیان ریاضیات نگاه میکنن و اینکه مسیر از کجا به کجا هست. نکته جالب اینه که خیلی وقتها شکستن اصول به نظر واضح، باعث خیلی از این مسائل شده و نه اون چیزهائی که پذیرفته شده هستن.
اگر علاقه داشتید میتونید به کارهای اویلر نگاه کنید تا با مسیر ذهنی یکی از غولهای تاریخ علم آشنا بشید. ساختارشکنهائی مثل کانتور، وایرشتراس و گودل میتونن جذابیت بیشتری از نظر عمق ریاضی داشته باشن.
4 پسندیده