با حل کردن معادله‌های ترمودینامیک به دنبال چه چیزی هستیم؟

قبل از پرسیدن پرسش اصلی شاید بهتر باشد که مقایسه‌ای بین ترمودینامیک و مکانیک کلاسیک یا مکانیک کوانتومی داشته باشیم.

  • اول این که در مکانیک کلاسیک و یا مکانیک کوانتومی با پدیده‌هایی سروکار داریم که تحول زمانی در آن‌ها مهم است. اما در سیستم‌های مورد بررسی ترمودینامیک برخلاف اسم‌اش (ترمو + دینامیک) هیچ دینامیکی در سطح بزرگ مقیاس وجود ندارد. به عبارت دیگر در معادلات ترمودینامیک تحول زمانی وجود ندارد.
  • دوم این که ترمودینامیک فقط به مطالعه پدیده‌هایی می‌پردازد که در حالت تعادل (گرمایی، مکانیکی، مغناطیسی و …) هستند. در حالی که مکانیک نیوتونی یا مکانیک کوانتومی اصلا در مورد تعادل بحث نمی‌کنند.
  • تفاوت دیگر شاید محدوده کاربرد ترمودینامیک باشد. به طوری که ترمودینامیک را می‌توان برای توصیف بسیاری از پدیده‌ها به کار برد اما مکانیک نیوتونی را نمی توان.

اگر قانون اول و دوم ترمودینامیک را با هم ترکیب کنیم به چنین رابطه‌ای می‌رسیم

dS = \frac{1}{T}dU + \frac{P}{T}dV - \frac{\mu}{T}dN +\sum_i{y_idX_i}

که شاید اساسی‌ترین رابطه ترمودینامیک باشد. جمله اول سمت چپ آنتروپی است. سایر جمله‌های سمت راست به ترتیب مربوط به انرژی درونی، کار مکانیکی و انرژی شیمیایی هستند. جمله پایانی در سمت راست می‌تواند هر شکل دیگری از کار باشد، مثلا مغناطیسی، کشش سطحی و … .

پرسش

حل کردن معادله نیوتون تحول زمانی مکان ذره‌ را به دست می‌دهد. حل کردن معادله شرودینگر علاوه بر تحول زمانی تابع موج توزیع فضایی تابع موج را هم مشخص می‌کند. پرسش این است که پاسخ معادله ترمودینامیکی بالا چه چیز جدیدی به ما می‌گوید؟

برای روشن‌تر کردن سوال، لازم است تاکید کنم که هدف من زیر سوال بردن اهمیت ترمودینامیک نیست چرا که برقرار کردن یک رابطه میان کمیت‌های فیزیکی به تنهایی با ارزش است. سوال من در حقیقت این است که آیا حل این معادله یا هر معادله دیگری که احتمالا من از آن بی‌خبرم درک جدیدی به ما می‌دهد؟ اصلا حل کردن معادله‌ای‌ که در آن تحول فضایی یا زمانی وجود ندارد چه اطلاعاتی به ما می‌دهد؟

3 Likes

سلام
بنظر من جواب سوال جالب شما اینه که ترمودینامیک یه علم تجربیه و اساسی ترین معادله ی اون یعنی \delta U = Q - W بر اساس تجریه بدست اومده و طبیعیه که جواب های مسئله هاش هم به اندازه ی جواب های مکانیک نیوتنی یا کوانتومی که علوم خیلی خیلی دقیقی هستن، دقیق نباشه!

اما با این حال زمان در حل مسئله هاش موثره، چون سیستم در \delta t از یه وضعیت به یه وضعیت دیگه میره تا ما بتونیم چیزهایی مثل کار یا گرما رو بدست بیاریم اما چون بیسش تجربیه پاسخ ها هم کلی نیستن مثل دینامیک و فقط برای اون \delta t بدست میاد جواب!

شاید بهتره از این شروع کنیم که به طور کلی در فیزیک به معنی پایه ای دنبال چی هستیم. اگر که در درسهای مربوط به حساب وردشی بهتون گفته باشن، می تونیم فرمول بندیهای فیزیک رو در همه ی شاخه اساسا به کمینه سازی یک تابعی (functional) انرژی کاهش بدیم که با قیدهای مربوطه به دنبال کمینه کردن اون هستیم. این تابعی تابع متغیرهای فیزیکی مربوط به مسئله هست. برای مثال در مکانیک کلاسیک با لاگرانژی سروکار داریم یا هامیلتونی که تابع مسیر و زمان هست. در ترمودینامیک هم همین اتفاق میوفته. چیزی که نوشتید اساسا میگه که انرژی برحسب کمیتهای فیزیکی مثل دما و … قابل نوشتنه. این معادله وقتی قابل استفاده هست که یا قیدهای مناسب مثل بی دررو بودن … یا معادله کمکی مثل معادله حالت برای سیستم رو داشته باشید وگرنه در این شکل چیزی بهتون نمیده. در مکانیک هم همین جوریه، اصل کمینه انرژی وقتی کاربردیه که شکل لاگرانژی یا همیلتونی رو بدونید.
اگر که این اطلاعات رو داشتید، هدف ترمودینامیک اینه که رابطه بین کمیتهای مورد نظر رو بدست بیاره. نبودن زمان اساسا به این معنیه که سیستم در تعادل قرار داره . از نظر ریاضی ولی میتونید کمیت مستقلی رو انتخاب کنید و نقش زمان رو بهش بدید.
یادتون باشه که با فرض ارگودیک بودن (یعنی جایگزینی تحول زمانی با آنسامبل فضای فاز) می تونید تمام ترمودینامیک (به جز اصل افزایش انتروپی یا دسترسی ناپذیری دمای صفر) رو میتونید از مکانیک آماری به دست بیارید. از این مسیر مکانیک کلاسیک بس ذره ای با ترمودینامیک یکی میشه.
سعی کردم خیلی خلاصه باشه ولی اگر که ابهامی هست میشه بحث رو ادامه داد

1 Like

در مکانیک نیوتنی شما شاید بتونید تحول یک ذره رو دنبال کنید. شاید تحول چندین ذره رو هم بتونید دنبال کنید. حالا برای سیستمی که تعداد ذره‌هاش برابر ۱۰ به توان ۲۳ هست واقعا هیچی ابرکامپیوتری نیست که بتونه همزمان معادله نیوتنی رو در فضای 6N بعدی حل کنه. اساسا نیازی هم نیست چون اطلاعات سودمندی هم نخواهد داشت. در مورد حل معادله شرودینگر وضعیت بسیار دشوارتر‌ از نیوتن هست. در حقیقت اینجا هستش که ترمودینامیک با قدم‌های استوار وارد میشه و در مورد ماکروحالت های سیتم ( حالت های بزرگ مقیاس ) بحث میکنه و جواب‌های بسیار دقیقی رو ارائه میده و سرانجام این مکانیک آماری هستش که چرایی پیوند بین حالت های ماکرو و میکرو سیستم رو توضیح میده، منظورم فرمول بسیار جالب S=k_B log \Gamma .

جالب این هستش که در حالت تعادل توسط همین معادله هامیلتنی شما میتونید این واقعیت که چگالی احتمال ماکروحالت سیستم مستقل از زمان هست رو توضیح بدید (معادله لیوویل) ، و به همین دلیل هست که تحول زمانی نقشی در ترمودینامیک تعادلی بازی نمیکنه.

فراموش نکنید که ما در مورد ترمودینامیک تعادلی صحبت میکنیم. در حالت غیرتعادلی حتما زمان یکی از مولفه‌های اصلی سیتم هست.